Notación de Dirac y su aplicación en la mecánica cuántica

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La notación de Dirac

Dirac ideó una forma simplificada de expresar los espacios de Hilbert N-dimensionales. A esta notación también se le conoce cómo notación bra-ket y voy a explicar un poco cómo se aplica a la mecánica cuántica.

Sobre los bra-ket

Un espacio de Hilbert es un espacio de probabilidad aplicado a un espacio dimensional.

Definamos un espacio de Hilbert cómo la ecuación de probabilidad de posición de una particula “matemáticamente visto cómo una singularidad o punto” $\Psi(\vec{x})$

Un bra-ket es una expresión de la denominada notación de Dirac. Se usa en mecánica cuántica para simplificar integrales del tipo

Esta expresión se simplifica cómo

• El bra $\langle\psi \vert$ es la función esperanza siendo la función de densidad de probabilidad, la función de onda, y la función aplicada, la función $f(x) = 1$. La función de onda es, en mecánica cuántica, la probabilidad de una particula para estár en una posición determinada.

• El ket $\vert\Phi\rangle$ es algo similar, simplemente que en este caso es el complejo conjugado del bra. Luego también se verá que, aplicado a un análisis discreto, es un vector columna en lugar de un vector fila.

Brakets discretos

Para la aplicación en la mecánica cuántica, adoptamos unos spines concretos que son las posiciones que luego se entenderán cómo elementos de un vector.

Un bra queda definido por la probabilidad de que una particula esté en una posición determinada por $\vec{x_0}$, que para el caso vamos a simplificar a una sola dimensión.

Con varias dimensiones, el bra cómo vector discreto del espacio de Hilbert queda tal que

El ket es el complejo conjugado del bra y se expresa cómo vector columna

El resultado de multiplicar ambos como vectores da un resultado numérico que representa la probabilidad del suceso $\sigma$.

Operaciones y propiedades

Los braket se operan de forma vectorial y tenemos que tener en cuenta ciertas peculiaridades de notación inherentes, cómo por ejemplo el producto vectorial de un ket y un bra, esto se llama producto tensorial y el resultado es un vector de dimensión $n\times m$ siendo n la dimensión del ket, y m la del bra.

El resultado es un nuevo espacio de Hilbert donde ahora tenemos más combinaciones por entrelazamiento cuantico. Esto conlleva un amplio repertorio de nuevos espacios posibles cuando combinamos estados cuánticos y con ello, un nuevo estilo de hacer computación.

Ahora nos encontramos con los operadores, que a fin de cuentas son matrices que realizan proyecciones del vector del espacio hilbertiano sobre el mismo espacio hilbertiano o un espacio nuevo.

Dentro de los operadores existentes, nos llama la atención los que son hermíticos, es decir, que operados con un ket, entrega el mismo ket multiplicado por un escalar real $\lambda$.

Un ejemplo es el operador $H = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, que aplicado al ket $\vert x\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$ queda de resultado $\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$ que es $\lambda\vert x\rangle$ con $\lambda = 1$.

en progreso …